Question

11．对于非零向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=1，（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）=0．则|$\overrightarrow{b}$|的取值范围是[$\frac{1}{2}$，1]．

Answer 1

分析 设$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，设|$\overrightarrow{b}$|=t，t＞0，根据向量的数量积德运算得到cosθ=$\frac{1}{t}$-2t，再根据三角函数的性质，即可得到关于t的不等式组，解得即可．

解答 解：设$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，设|$\overrightarrow{b}$|=t，t＞0
∵（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）=0，
∴（$\overrightarrow{a}$）²-2（$\overrightarrow{b}$）²•-$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，
∴1-2|$\overrightarrow{b}$|²-|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|cosθ=0，
∴1-2t²-tcosθ=0，
∴cosθ=$\frac{1}{t}$-2t，
∴-1≤$\frac{1}{t}$-2t≤1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{t}-2t≤1}\\{\frac{1}{t}-2t≥-1}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1}{2}$≤t≤1，
∴则$\overrightarrow{b}$|的取值范围是[$\frac{1}{2}$，1]，
故答案为：[$\frac{1}{2}$，1]

点评 本题考查向量的数量积的运算，以及不等式的解法，关键构造不等式组，属于中档题．