Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱底面，且侧棱的长是，点分别是的中点.

（Ⅰ）证明： 平面；

（Ⅱ）求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） .

【解析】试题分析：（Ⅰ）连结，通过勾股定理计算可知，由三线合一得出平面；（Ⅱ）根据中位线定理计算得出是边长为的正三角形，以为棱锥的底面，则为棱锥的高，代入棱锥的体积公式计算.

试题解析：（Ⅰ）证明: 四边形是边长为的正方形， 是的中点,

又侧棱底面, 面

又

是等腰三角形， 是的中点, .

同理 是等腰三角形， 是的中点,

面

平面

（Ⅱ）侧棱底面, 面

由（Ⅱ）知： 平面,是三棱锥到平面的距离

分别是的中点, ， ,

四边形是边长为的正方形， 是的中点

三角形是等边三角形