Question

【题目】已知函数， .

（Ⅰ）求的最大值；

（Ⅱ）若，判断的单调性；

（Ⅲ）若有两个零点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）最大值f(e)＝；（Ⅱ）见解析；（III）.

【解析】试题分析：

（Ⅰ）求解导函数有f′(x)＝（x＞0），由导函数研究函数的单调性可得当x＝e时，f(x)取得最大值f(e)＝．

（Ⅱ）a=1, ,令，则， ,则. 在x>0时单调递减.

（III）令 ，原问题等价于h（x）有两个零点， ，

结合(Ⅰ)的结论可得.

试题解析：

（Ⅰ）f′(x)＝（x＞0），

当x∈(0，e)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；

当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，

所以当x＝e时，f(x)取得最大值f(e)＝．

（Ⅱ）a=1, ,令，

，当，

当， ,即，

.故在x>0时单调递减.

（III） g(x)有两个零点等价于h（x）有两个零点，

由（1）知，

由图像可知.