题目内容
【题目】已知抛物线C： 
，点
在x轴的正半轴上，过点M的直线
与抛物线C相交于A，B两点，O为坐标原点．
（1）若
，且直线
的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；
（2）是否存在定点M，使得不论直线
绕点M如何转动， 
恒为定值？
【答案】（1）以AB为直径的圆的方程是
；（2）存在定点
，满足题意．
【解析】试题分析：（1）由题意得
，直线
的方程
与抛物线方程联立，利用韦达定理，可得圆心坐标和圆的半径，从而可得圆的方程．
（2）若存在定点这样的点
，使得
恒为定值；直线
： 
与抛物线C： 
联立，计算
,
，利用
恒为定值，可求出点
的坐标．
试题解析：（1）当
时， 
，此时，点M为抛物线C的焦点，
直线
的方程为
，设
，联立
，
消去y得， 
，∴
， 
，∴圆心坐标为
．
又
，∴圆的半径为4，∴圆的方程为
．
（2）由题意可设直线
的方程为
，则直线
的方程与抛物线C： 
联立，
消去x得： 
，则
， 
，
对任意
恒为定值，
于是
，此时
．
∴存在定点
，满足题意．
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