Question

在等比数列{a_n}中，a₁+a_n=66，a₂a_n-1=128，S_n=126，则n的值为

1. A.
   5
2. B.
   6
3. C.
   7
4. D.
   8

Answer 1

B
分析：设a_n=a₁q^n-1，用a_n和a₁表示出a₂•a_n-1根据韦达定理推知a₁和a_n是方程x²-66x+128=0的两根，求得a₁和a_n进而求得q^n-1，把a₁和a_n代入S_n=126，进而求得q，
再把q代入q^n-1=32，求得n的值．
解答：由题意可得a₁+a_n=66，a₁ •a_n =a₂a_n-1=128，根据韦达定理推知a₁和a_n是方程x²-66x+128=0的两根，
∴a₁=2 且 a_n=64，故 q^n-1=32； 或a₁=63 且a_n=2，故 q^n-1=．
当 a₁=2 且 a_n=64，q^n-1=32 时，再由S_n=126=，求得q=2，∴n=6．
当 a₁=63 且a_n=2，q^n-1= 时，再由S_n=126=，求得q=，∴n=6．
综上可得，n=6，
故选B．
点评：本题主要考查等比数列的性质，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式．解题的过程中巧妙的利用了一元二次方程中的韦达定理，值得借鉴，属于中档题．