题目内容

探究函数f（x）=2x+
8
x
-3，x∈（0，+∞）上的最小值，并确定取得最小值时x的值．列表如下：
x … 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7 …
y … 14 7 5.34 5.11 5.01 5 5.01 5.04 5.08 5.67 7 8.6 12.14 …
（1）观察表中y值随x值变化趋势特点，请你直接写出函数f（x）=2x+
8
x
-3，x∈（0，+∞）的单调区间，并指出当x取何值时函数的最小值为多少；
（2）用单调性定义证明函数f（x）=2x+
8
x
-3在（0，2）上的单调性．
分析：（1）根据表格数据的变化，确定函数的单调区间和函数的最小值点．
（2）利单调性的定义证明函数的单调性．
解答：解（1）由表中可知f（x）在 （0，2]为减函数，[2，+∞）为增函数．
并且当x=2时 f（x）min=5．
（2）证明：设0＜x1＜x2＜2，
∵f(x1)-f(x2)=2x1+
8
x1
-(2x2+
8
x2
)=2(x1-x2)+
8(x2-x1)
x1x2
=
2(x1-x2)(x1x2-4)
x1x2
，
∵0＜x1＜x2＜2，
∴x1-x2＜0，0＜x1x2＜4，x1x2-4＜0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，
即f（x1）＞f（x2）．
∴f（x）在（0，2）为减函数．
点评：本题主要考查函数单调性的判断，利用单调性的定义是解决函数单调性的基本方法．
练习册系列答案
相关题目
（1）证明：函数f（x）=x+
4
x
在（2，+∞）上单调递增；
（2）探究函数f（x）=x+
a
x
（a＞0）的单调性（只需写出结论，不用证明）．
对于函数f(x)=
1
ax-1
+
1
2
(a＞0，且a≠1)
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）探究函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义加以证明；
（3）当2＜a＜4时，求函数f（x）在[-3，-1]上的最大值和最小值．
对于函数f(x)=a-
12x+1
(a∈R)：
（1）探究函数f（x）的单调性，并给予证明；
（2）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？
（3）求函数f（x）的值域．
探究函数f（x）=x+
4
x
，x∈（-∞，0）的最大值，并确定取得最大值时x的值．列表如下：
请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题．
x … -3 -2.3 -2.2 -2.1 -2 -1.9 -1.7 -1.5 -1 -0.5 …
y … -4.3 -4.04 -4.02 -4.005 -4 -4.005 -4.05 -4.17 -5 -8.5 …
（1）函数f（x）=x+
4
x
，x∈（-∞，0）在区间
（-∞，-2）
（-∞，-2）
上为单调递增函数．当x=
-2
-2
时，f（x）最大=
-4
-4
．
（2）证明：函数f（x）=x+
4
x
在区间[-2，0）为单调递减函数．
（3）若函数h(x)=
x2-ax+4
x
在x∈[-2，-1]上，满足h（x）≥0恒成立，求a的范围．
探究函数f（x）=x+
4
x
，x∈（-∞，0）的最大值，并确定取得最大值时x的值．列表如下：
x … -3 -2.3 -2.2 -2.1 -2 -1.9 -1.7 -1.5 -1 -0.5 …
y … -4.3 -4.04 -4.02 -4.005 -4 -4.005 -4.05 -4.17 -5 -8.5 …
请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题．
（1）函数f（x）=x+
4
x
，x∈（-∞，0）在区间
 
上为单调递增函数．当x=
 
时，f（x）最大=
 
．
（2）证明：函数f（x）=x+
4
x
在区间[-2，0）为单调递减函数．

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