Question

对于函数f(x)=a-

1

2x+1

(a∈R)：
（1）探究函数f（x）的单调性，并给予证明；
（2）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？
（3）求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）利用导数大于0，可得函数f（x）在R上单调增；
（2）若函数f（x）为奇函数，则f（-x）=-f（x），从而可建立方程，由此可得存在实数a使函数f（x）为奇函数；
（3）先确定-1＜-

1

2x+1

＜0，进而可求函数f（x）的值域．

解答：解：（1）函数f（x）在R上单调增．
证明：求导函数可得：f′(x)=

2xln2

(2x+1)2

∵x∈R，∴f′(x)=

2xln2

(2x+1)2

＞0
∴函数f（x）在R上单调增．
（2）解：若函数f（x）为奇函数，则f（-x）=-f（x）
∴a-

1

2-x+1

=-a+

1

2x+1

∴2a=1
∴a=

1

2

∴当a=

1

2

时，函数f（x）为奇函数；
（3）解：∵2^x＞0
∴2^x+1＞1
∴0＜

1

2x+1

＜1
∴-1＜-

1

2x+1

＜0
∴a-1＜a-

1

2x+1

＜a
∴函数f（x）的值域为（a-1，a）

点评：本题综合考查函数的单调性与奇偶性，考查函数的值域，解题的关键是正确理解函数的单调性与奇偶性，掌握求函数值域的一般方法，