题目内容
（满分14分）设函数
（1）设曲线
在点（1，
）处的切线与x轴平行．
① 求
的最值；
② 若数列
满足
（
为自然对数的底数），
，
求证：
．
（2）设方程
的实根为
．
求证：对任意
，存在
使
成立．
【答案】
解：（1）①
的最小值为
。无最大值；②见解析；（2）见解析.
【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。求解函数的单调性和导数几何意义的运用，以及不等式的证明的综合问题
（1）第一问利用已知条件得打参数m的值，然后求解导数。判定其单调性，求解函数的单调区间，从而得到最值和放缩法得到不等式的证明
（2）第二问中运用函数与方程思想，来分析方程的解的问题。并构造函数来证明不等式 成立。
解：（1）由已知
，
①
。
当
时
当
时
。则在（0,1）上是减函数，在
上是增函数。的最小值为。无最大值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．４＇
②
（当且仅当
时取到等号）
即
且
即
则
。又
即
则
故不等式成立。．．．．．．．．．．．９＇
（2）设
故
在
上递增。
又
所以方程
即
在上有唯一根
且
而不等式
不妨设
设
设集合
即存在
成立。
那么不等式
也成立
故对任意
使得
成立．．．14＇
练习册系列答案
相关题目
的最小正周期及函数的单调递增区间 ； （II）若
，是否存在实数m，使函数
？若存在，请求出m的取值；若不存在，请说明理由。
在
上是增函数.求正实数
的取值范围；
，求证：
的图象与x轴相交于一点
，且在点
的解析式；
的极值存在，求实数m的取值范围。
的表达式
并判断
是否有最大值，若有最大值求出它；若没有最大值，说明理由。
，其中
判断
在
上的单调性．
，
，当
时，
取得极值。
的值；
时，函数
的图象有三个公共点，求
的取值范围。