Question

(本题14分)已知为实数，函数．

（I）若函数的图象上有与轴平行的切线，求的取值范围；

（II）若，

（ⅰ） 求函数的单调区间；

（ⅱ） 证明对任意的，不等式恒成立。

 

Answer 1

【答案】

（I）实数的取值范围是

（ⅰ）函数的单调增区间为，；

单调减区间为．

（ⅱ）任意的，恒有．

【解析】解：(Ⅰ) ∵，∴．……………2分

∵函数的图象上有与轴平行的切线，∴有实数解．

∴，…………………4分    

∴．因此，所求实数的取值范围是．……6分

(Ⅱ) (ⅰ)∵，∴，即．

∴．

由，得或；  由，得．

因此，函数的单调增区间为，；

单调减区间为．………………………10分

(ⅱ)由(ⅰ)的结论可知，

在上的最大值为，最小值为；

在上的的最大值为，最小值为．

∴在上的的最大值为，最小值为．

因此，任意的，恒有．………14分