Question

定义在R上的偶函数f（x），满足f（x+2）=f（x），且f（x）在[-3，-2]上是减函数，又α，β是锐角三角形的两个内角，则（　　）

A．f（sinα）＜f（sinβ）

B．f（cosα）＜f（cosβ）

C．f（sinα＞f（cosβ）

D．f（sinα）＜（cosβ）

Answer 1

分析：由f（x+2）=f（x）得函数的周期为2，然后利用函数的周期和奇偶性进行转化，确定函数f（x）在区间[0，1]上的单调性，即可判断得到答案．

解答：解：∵f（x+2）=f（x），
∴函数f（x）为周期函数，周期T=2，
∵f（x）在[-3，-2]上为减函数，
∴f（x）在[-1，0]上为减函数，
∵f（x）为偶函数，根据偶函数在对称区间上单调性相反，
∴f（x）在[0，1]上为单调增函数．
∵在锐角三角形中，则π-α-β＜

π

2

，
∴α+β＞

π

2

，
∴

π

2

＞α＞

π

2

-β＞0，
∴sinα＞sin（

π

2

-β）=cosβ，
∵f（x）在[0，1]上为单调增函数．
∴f（sinα）＞f（cosβ）．
故选C．

点评：本题主要考查了函数的奇偶性和周期性的应用，三角函数的图象和性质，综合考查了函数的奇偶性、周期性和单调性的应用，综合性较强，涉及的知识点较多．属于中档题．