Question

19．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（3+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，且a=3，则△ABC面积的最大值为$\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$．

Answer 1

分析 由（3+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，a=3，利用正弦定理可得（a+b）（a-b）=（c-b）c，化简利用余弦定理可得A，再利用余弦定理、基本不等式的性质、三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：∵（3+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，a=3，
∴（a+b）（a-b）=（c-b）c，
∴b²+c²-a²=bc，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），∴A=$\frac{π}{3}$．
∴b²+c²=9+bc≥2bc，化为bc≤9，当且仅当b=c=3时取等号．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$$≤\frac{1}{2}×9×sin\frac{π}{3}$=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．
故最大值为：$\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、基本不等式的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．