Question

曲线C₁：x²+y²=1在矩阵M=（

a 0 o b

）（a＞0，b＞0）的变换作用下得到曲线C₂：

x2

4

+y²=1．     
（Ⅰ）求矩阵M；
（Ⅱ）求矩阵M的特征值及对应的一个特征向量．

Answer 1

分析：（Ⅰ）确定点在矩阵M=（

a 0 o b

）（a＞0，b＞0）对应的变换作用下得到点坐标之间的关系，利用变换前后的方程，即可求得矩阵M；
（Ⅱ）先根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量．

解答：解：（Ⅰ）设曲线C₁上的任意一点（x，y）在矩阵M的对应变换作用下所得的点为（x′，y′），
则（

a 0 o b

）

x   y

=

x′   y′

，
∴

x′=ax y′=by

，
由点（x′，y′）在曲线C₂上，得

a2x2

4

+b2y2=1，
∴

a2 4 =1 b2=1

，由a＞0，b＞0，解得

a=2 b=1

，
∴M=

2 0 0 1

；
（Ⅱ）由

.

λ-2 0 0 λ-1

.

=（λ-2）（λ-1）=0，解得：λ=1或2，
当λ=1时，由

-x+0•y=0 0•x+0•y=0

得对应的特征向量为

α1

=

0   1

；
当λ=2时，由

0•x+0•y=0 0•x+y=0

得对应的特征向量为

α2

=

1   0

．

点评：本题主要考查了矩阵与变换等基础知识，考查运算求解的能力和化归与转化的思想，属于中档题．