Question

【题目】函数．

（1）求的单调区间；

（2）在函数的图象上取两个不同的点，令直线的斜率为，则在函数的图象上是否存在点，且，使得？若存在，求两点的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2）不存在，见解析

【解析】

（1）先求出，再对分四种情况讨论得到函数的单调区间；

（2）假设存在，即满足，不妨令，计算出得到存在， 只要证存在，令，故转化为存在，即需要证明，再利用导数证明即得不存在.

（1）由题知定义域为，

①当时，，

令，解得，解得

即函数在上单调递增，在及上单调递减；

②当时，，在上，

即函数在上单调递减；

③当时，

令，解得，解得

即函数在上单调递增，在（0，1）及上单调递减；

④当时，

令，解得，解得

即函数在上单调递增，在（0，1）上单调递减

综上所述：

当时，增区间为，减区间为及；

当时，减区间为；

当时，增区间为，减区间为（0，1）及；

当时，减区间为（0，1），增区间为；

（2）假设存在，即满足，

因为已知，不妨令，

则

而由

得存在，也就是证存在，

只要证存在，

令，故转化为存在，

即需要证明，令

则有，

故在上单调递增，所以，

故不存在．