题目内容
设函数f（x）=|x-m|-mx，其中m为常数且m＜0．（1）解关于x的不等式f（x）＜0；
（2）试探求f（x）存在最小值的充要条件，并求出相应的最小值．
【答案】分析：（1）将f（x）＜0转化为|x-m|＜mx，得-mx＜x-m＜mx，再对参数m分类讨论解不等式．
（2）函数可变为f（x）=
，运用单调性据函数的形式判断出-（1-m）≤0，结合m＜0得出答案．
解答：解：（1）由f（x）＜0得，|x-m|＜mx，得-mx＜x-m＜mx，
即
．
①当m=-1时，
x＜-
；
②当-1＜m＜0时，
＜x＜
；
③当m＜-1时，
x＜
；
综上所述，当m＜-1时，不等式解集为{x|x＜
}；
当m=-1时，不等式解集为{x|x＜-
}；
当-1＜m＜0时，不等式解集为{x|
＜x＜
}．
（2）f（x）=
，
∵m＜0，∴1-m＞0，f（x）在[m，+∞）上单调递增，要使函数f（x）存在最小值，
则f（x）在（-∞，m）上是减函数或常数，
∴-（1+m）≤0即m≥-1，又m＜0，
∴-1≤m＜0．
故f（x）存在最小值的充要条件是-1≤m＜0，且f（x）min=f（m）=-m2．
点评：本题考查解不等式，分类讨论的思想，在（2）中要根据函数的形式判断出函数中参数的取值范围．难度较高．
（2）函数可变为f（x）=
，运用单调性据函数的形式判断出-（1-m）≤0，结合m＜0得出答案．解答：解：（1）由f（x）＜0得，|x-m|＜mx，得-mx＜x-m＜mx，
即
．①当m=-1时，
x＜-
；②当-1＜m＜0时，
＜x＜
；③当m＜-1时，
x＜
；综上所述，当m＜-1时，不等式解集为{x|x＜
}；当m=-1时，不等式解集为{x|x＜-
}；当-1＜m＜0时，不等式解集为{x|
＜x＜
}．（2）f（x）=
，∵m＜0，∴1-m＞0，f（x）在[m，+∞）上单调递增，要使函数f（x）存在最小值，
则f（x）在（-∞，m）上是减函数或常数，
∴-（1+m）≤0即m≥-1，又m＜0，
∴-1≤m＜0．
故f（x）存在最小值的充要条件是-1≤m＜0，且f（x）min=f（m）=-m2．
点评：本题考查解不等式，分类讨论的思想，在（2）中要根据函数的形式判断出函数中参数的取值范围．难度较高．
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| A、[-5，5] | ||||||||
B、[-
| ||||||||
C、[-
| ||||||||
D、[-
|