Question

已知椭圆，P为椭圆上除长轴端点外的任一点，F₁，F₂为椭圆的两个焦点．
（1）若∠PF₁F₂=α，∠PF₁F₂=β，求证：离心率；
（2）若∠F₁PF₂=2θ，求证：△F₁PF₂的面积为b²•tanθ．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据∵∠PF₁F₂和∠PF₁F₂求得∠F₁PF₂，进而根据正弦定理分别求得|PF₁|和|PF₂|，代入|PF₁|+|PF₂|=2a中求得a和c的关系，求得离心率．
（2）设PF₁=x，PF₂=y，根据椭圆的定义可知x+y=2a，进而可得x²+y²=4a²-2xy代入余弦定理中，求得xy，然后根据三角形面积公式化简整理即可得出答案．
解答：（1）证明∵∠PF₁F₂=α，∠PF₁F₂=β，
∴∠F₁PF₂=180°-α-β
∴sin∠F₁PF₂=sin（α+β）
由正弦定理可得，
∴|PF₁|=，|PF₂|=
根据椭圆的定义可知|PF₁|+|PF₂|=2a
∴a==c•=c•
∴e==
（2）证明：设PF₁=x，PF₂=y
则根据椭圆的定义可知x+y=2a，
∴x²+y²=4a²-2xy
由余弦定理可知cos2θ==
∴xy==
∴：△F₁PF₂的面积S=xysin2θ===b²•tanθ
点评：本题主要考查了椭圆的应用及解三角形问题．解题的关键是充分利用椭圆的定义，找到三角形三边的关系，进而通过正弦定理和余弦定理转化成三角函数的化简．