Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦距为2

3

，过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为1，过点M（3，0）的直线l与椭圆C交于两点A，B．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设P为椭圆上一点，且满足

OA

+

OB

=t

OP

（O为坐标原点），求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出半焦距，可得过焦点且垂直于长轴的直线方程，代入椭圆方程，利用过焦点且垂直于长轴的直线l被椭圆截得的弦长为1，建立方程，求出几何量，即可求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线l的方程为y=k（x-3），代入椭圆方程，利用韦达定理，结合

OA

+

OB

=t

OP

，P为椭圆上一点，即可求实数t的取值范围．

解答：解：（I）因为所求椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，焦距为2c=2

3

，
所以c=

3

．
设过焦点且垂直于长轴的直线为x=c．
因为过焦点且垂直于长轴的直线l被椭圆截得的弦长为1，
代入椭圆方程解得：y=±

b2

a

，即

b2

a

=

1

2

．
由

c= 3 a2=b2+c2 b2 a = 1 2

，解得

a=2 b=1 c= 3 .

，
所以所求椭圆的方程为：

x2

4

+y2=1．…（6分）
（Ⅱ）设过点M（3，0）的直线l的斜率为k，显然k存在．
（1）当k=0时，

OA

+

OB

=

0

=t

OP

，所以t=0．
（2）当k≠0时，设直线l的方程为y=k（x-3）．
由

y=k(x-3) x2 4 +y2=1

，消y并整理得（1+4k²）x²-24k²x+36k²-4=0．
当△=24²k⁴-4（1+4k²）（36k²-4）＞0时，可得0＜k2＜

1

5

．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），则x1+x2=

24k2

1+4k2

，x1•x2=

36k2-4

1+4k2

．
因为

OA

+

OB

=t

OP

，
所以（x₁+x₂，y₁+y₂）=t（x₀，y₀）．
所以x0=

1

t

(x1+x2)=

24k2

t(1+4k2)

，y0=

1

t

(y1+y2)=

1

t

[k(x1+x2)-6k]=

-6k

t(1+4k2)

．
由点P在椭圆上得

(24k2)2

t2(1+4k2)2

+

144k2

t2(1+4k2)2

=4，
解得t2=

36k2

1+4k2

=9-

9

1+4k2

．
因为0＜k2＜

1

5

，
所以0＜4k2＜

4

5

．
所以1＜1+4k2＜

9

5

．
所以

5

9

＜

1

1+4k2

＜1．
所以5＜

9

1+4k2

＜9．
所以-9＜-

9

1+4k2

＜-5．
所以0＜9-

9

1+4k2

＜4．
所以0＜t²＜4．
所以t∈（-2，0）∪（0，2）．
综合（1）（2）可知t∈（-2，2）…（13分）

点评：本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．