题目内容
已知椭圆C：
+
=1(a＞b＞0)的焦距为2
，过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为1，过点M（3，0）的直线l与椭圆C交于两点A，B．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设P为椭圆上一点，且满足
+
=t
（O为坐标原点），求实数t的取值范围．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设P为椭圆上一点，且满足
| OA |
| OB |
| OP |
分析：（Ⅰ）求出半焦距，可得过焦点且垂直于长轴的直线方程，代入椭圆方程，利用过焦点且垂直于长轴的直线l被椭圆截得的弦长为1，建立方程，求出几何量，即可求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线l的方程为y=k（x-3），代入椭圆方程，利用韦达定理，结合
+
=t
，P为椭圆上一点，即可求实数t的取值范围．
（Ⅱ）直线l的方程为y=k（x-3），代入椭圆方程，利用韦达定理，结合
| OA |
| OB |
| OP |
解答：解：（I）因为所求椭圆的方程为
+
=1(a＞b＞0)，焦距为2c=2
，
所以c=
．
设过焦点且垂直于长轴的直线为x=c．
因为过焦点且垂直于长轴的直线l被椭圆截得的弦长为1，
代入椭圆方程解得：y=±
，即
=
．
由
，解得
，
所以所求椭圆的方程为：
+y2=1．…（6分）
（Ⅱ）设过点M（3，0）的直线l的斜率为k，显然k存在．
（1）当k=0时，
+
=
=t
，所以t=0．
（2）当k≠0时，设直线l的方程为y=k（x-3）．
由
，消y并整理得（1+4k2）x2-24k2x+36k2-4=0．
当△=242k4-4（1+4k2）（36k2-4）＞0时，可得0＜k2＜
．
设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），则x1+x2=
，x1•x2=
．
因为
+
=t
，
所以（x1+x2，y1+y2）=t（x0，y0）．
所以x0=
(x1+x2)=
，y0=
(y1+y2)=
[k(x1+x2)-6k]=
．
由点P在椭圆上得
+
=4，
解得t2=
=9-
．
因为0＜k2＜
，
所以0＜4k2＜
．
所以1＜1+4k2＜
．
所以
＜
＜1．
所以5＜
＜9．
所以-9＜-
＜-5．
所以0＜9-
＜4．
所以0＜t2＜4．
所以t∈（-2，0）∪（0，2）．
综合（1）（2）可知t∈（-2，2）…（13分）
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
所以c=
| 3 |
设过焦点且垂直于长轴的直线为x=c．
因为过焦点且垂直于长轴的直线l被椭圆截得的弦长为1，
代入椭圆方程解得：y=±
| b2 |
| a |
| b2 |
| a |
| 1 |
| 2 |
由
|
|
所以所求椭圆的方程为：
| x2 |
| 4 |
（Ⅱ）设过点M（3，0）的直线l的斜率为k，显然k存在．
（1）当k=0时，
| OA |
| OB |
| 0 |
| OP |
（2）当k≠0时，设直线l的方程为y=k（x-3）．
由
|
当△=242k4-4（1+4k2）（36k2-4）＞0时，可得0＜k2＜
| 1 |
| 5 |
设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），则x1+x2=
| 24k2 |
| 1+4k2 |
| 36k2-4 |
| 1+4k2 |
因为
| OA |
| OB |
| OP |
所以（x1+x2，y1+y2）=t（x0，y0）．
所以x0=
| 1 |
| t |
| 24k2 |
| t(1+4k2) |
| 1 |
| t |
| 1 |
| t |
| -6k |
| t(1+4k2) |
由点P在椭圆上得
| (24k2)2 |
| t2(1+4k2)2 |
| 144k2 |
| t2(1+4k2)2 |
解得t2=
| 36k2 |
| 1+4k2 |
| 9 |
| 1+4k2 |
因为0＜k2＜
| 1 |
| 5 |
所以0＜4k2＜
| 4 |
| 5 |
所以1＜1+4k2＜
| 9 |
| 5 |
所以
| 5 |
| 9 |
| 1 |
| 1+4k2 |
所以5＜
| 9 |
| 1+4k2 |
所以-9＜-
| 9 |
| 1+4k2 |
所以0＜9-
| 9 |
| 1+4k2 |
所以0＜t2＜4．
所以t∈（-2，0）∪（0，2）．
综合（1）（2）可知t∈（-2，2）…（13分）
点评：本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
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