Question

在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若A=2B，给出下列命题：
①

π

6

＜B＜

π

4

；
②

a

b

∈（

2

，

3

]；
③a²=b²+bc．
其中正确的个数是（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考点：基本不等式

专题：计算题

分析：锐角三角形ABC中三个角都是锐角，得到2B及π-3B都是锐角，求出角B的范围，利用正弦定理即余弦定理得出

a

b

=

sinA

sinB

=2cosB，a²=b²+c²-2bccosA

解答：解：∵锐角三角形ABC中，
∴0＜A＜

π

2

，0＜B＜

π

2

，0＜C＜

π

2

；
∴

0＜B＜ π 2 0＜2B＜ π 2 0＜π-3B＜ π 2

解得

π

6

＜B＜

π

4

；
∵

a

b

=

sinA

sinB

=2cosB，
∵

π

6

＜B＜

π

4

；
∴

2

2

＜cosB＜

3

2

，
∴

2

＜2cosB＜

3

，
∵a²=b²+c²-2bccosA，
∵b²+c²-2bccosA-（b²+bc）
=c²-2bccosA-bc
=c（c-2bcosA-b）
=c2R（sinC-2sinBcosA-sinB）
=2Rc（sin3B-2sinBcos2B-sinB）
=2Rc（sinBcos2B+cosBsin2B-2sinBcos2B-sinB）
=2Rc（cosBsin2B-sinBcos2B-sinB）
=0
∴a²=b²+bc．
∴①③对．
故选：C．

点评：本题考查锐角三角形的特点；考查三角形的正弦定理、余弦定理；属于一道中档题．