Question

【题目】已知函数f（x）=（m+2cos2x）cos（2x+θ）为奇函数，且f（ ）=0，其中m∈R，θ∈（0，π）
（Ⅰ）求函数f（x）的图象的对称中心和单调递增区间
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且f（ + ）=﹣ ，c=1，ab=2 ，求△ABC的周长．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f（ ）=﹣（m+1）sinθ=0，
∵θ∈（0，π）．
∴sinθ≠0，
∴m+1=0，即m=﹣1，
∵f（x）为奇函数，
∴f（0）=（m+2）cosθ=0，
∴cosθ=0，θ= ．
故f（x）=（﹣1+2cos2x）cos（2x+ ）=cos2x（﹣sin2x）=﹣ sin4x，
由4x=kπ，k∈Z得：x= kπ，k∈Z，
故函数f（x）的图象的对称中心坐标为：（ kπ，0），k∈Z，
由4x∈[ +2kπ， +2kπ]，k∈Z得：x∈[ + kπ， + kπ]，k∈Z，
即函数f（x）的单调递增区间为[ + kπ， + kπ]，k∈Z，
（Ⅱ）∵f（ + ）=﹣ sin（2C+ ）﹣ ，C为三角形内角，
故C= ，
∴c2=a2+b2﹣2abcosC= = ，
∵c=1，ab=2 span> ，
∴a+b=2+ ，
∴a+b+c=3+ ，
即△ABC的周长为3+
【解析】（Ⅰ）把x=代入函数解析式可求得m的值，进而根据函数为奇函数推断出f（0）=0，进而求得cosθ，则θ的值可得函数解析式，进而可得函数f（x）的图象的对称中心和单调递增区间（Ⅱ）由f（+）=﹣可得C角，结合余弦定理及c=1，ab=2，可得△ABC的周长．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的奇函数的相关知识，掌握一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数，以及对余弦定理的定义的理解，了解余弦定理:;;．