Question

函数f（x）=

1

3

x3+

1

2

（2-a）x²-2ax+5在区间[-1，1]上不单调，则a的取值范围是_{____}．

Answer 1

分析：先求函数的导函数，根据原函数在[-1，1]上不单调，说明导函数在[-1，1]上不恒大于0或恒小于0，然后结合三个二次的关系列式求解a的取值范围．

解答：解：因为f(x)=

1

3

x3+

1

2

(2-a)x2-2ax+5，
所以f^′（x）=x²+（2-a）x-2a，又函数f（x）在[-1，1]上不单调，所以在[-1，1]上f^′（x）的值有正有负，
函数为二次函数，对称轴方程为x=

a

2

-1，
当

a

2

-1＜-1时，需要

f′(-1)＜0 f′(1)＞0

，即

(-1)2+(2-a)×(-1)-2a＜0 12+(2-a)×1-2a＞0

，解得：-1＜a＜0
当

a

2

-1＞1时，需要

f′(-1)＞0 f′(1)＜0

，即

(-1)2+(2-a)×(-1)-2a＞0 12+(2-a)×1-2a＜0

，解得：a∈∅
当-1≤

a

2

-1＜0时，需要

△=(2-a)2-4×1×(-2a)＞0 f′(1)=12+(2-a)×1-2a＞0

，解得：0≤a＜1
当0＜

a

2

-1≤1时，需要

△=(2-a)2-4×1×(-2a)＞0 f′(-1)=(-1)2+(2-a)×(-1)-2a＞0

，解得：a∈∅
当

a

2

-1=0时，需要

△=(2-a)2-4×1×(-2a)＞0 f′(-1)=(-1)2+(2-a)×(-1)-2a＞0 f′(1)=12+(2-a)×1-2a＞0

，解得：a∈∅
综上所述，a的取值范围是-1＜a＜1．
故答案为（-1，1）．

点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，分析导函数在区间[-1，1]上的符号时，考查了分类讨论的数学思想．属易错题．