Question

设函数f（x）=

1

3

x-lnx（x＞0），则y=f（x）（　　）

• A、在区间（

  1

  e

  ，1），（l，e）内均有零点
• B、在区间（

  1

  e

  ，1），（l，e）内均无零点
• C、在区间（

  1

  e

  ，1）内无零点，在区间（l，e）内有零点
• D、在区间（

  1

  e

  ，1）内有零点，在区间（l，e）内无零点

Answer 1

分析：先对函数f（x）进行求导，再根据导函数的正负情况判断原函数的增减性可得答案．

解答：解：由题得f′(x)=

x-3

3x

，令f′（x）＞0得x＞3；
令f′（x）＜0得0＜x＜3；f′（x）=0得x=3，
故知函数f（x）在区间（0，3）上为减函数，在区间（3，+∞）为增函数，
在点x=3处有极小值1-ln3＜0；又f(1)=

1

3

＞0，f(e)=

e

3

-1＜0，f(

1

e

)=

1

3e

+1＞0．
故选C．

点评：本题主要考查导函数的增减性与原函数的单调性之间的关系．即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．