Question

设函数f（x）=

1

3

x-lnx，则y=f（x）

 

．（填写正确命题的序号）
①在区间（

1

e

，1），（1，e）内均有零点； ②在区间（

1

e

，1）内有零点，在区间（1，e）内无零点；
③在区间（

1

e

，1），（1，e）内均无零点； ④在区间（

1

e

，1）内无零点，在区间（1，e）内有零点．

Answer 1

分析：根据所给的四个命题中所提到两个区间的端点对应的数字，做出三个数字对应的函数值，观察两个端点的函数值的符号是否相反，根据零点的判定定理得到结果．

解答：解：根据题意，f′（x）=

x-3

3x

，
令f′（x）=0得x=3，
故知函数f（x）在区间（0，3）上为减函数，在区间（3，+∞）为增函数，
在点x=3处有极小值1-ln3＜0；
∵f（

1

e

）=

1

3e

+1＞0，
f（1）=

1

3

＞0，
f（e）=

e

3

-1＜0，
则f（x）在（1，e）内有零点，在区间（

1

e

，1）内无零点，
故答案为：④

点评：本题考查函数零点，本题解题的关键是看出函数在几个点对应的函数值的符号，本题是一个基础题．