Question

（（本小题满分14分）
已知圆,点,点在圆运动,垂直平分线交于点．
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）设是曲线上的两个不同点,且点在第一象限,点在第三象限,若
,为坐标原点,求直线的斜率；
（Ⅲ）过点且斜率为的动直线交曲线于两点,在轴上是否存在定点,使以为直径的圆恒过这个点？若存在,求出的坐标,若不存在,说明理由．

Answer 1

解: （Ⅰ）因为的垂直平分线交 于点．所以

所以动点的轨迹是以点为焦点的椭圆……………3分
设椭圆的标准方程为
则，，则椭圆的标准方程为……5分
（Ⅱ）设，则    ①
因为，则    ②
由①②解得……………8分
所以直线的斜率……………10分
（Ⅲ）直线方程为，联立直线和椭圆的方程得:
  得…………11分
由题意知：点在椭圆内部，所以直线与椭圆必交与两点，
设则
假设在轴上存在定点，满足题设，则
因为以为直径的圆恒过点,
则，即: （*）
因为
则（*）变为…………12分



由假设得对于任意的,恒成立，
即解得．
因此，在轴上存在满足条件的定点，点的坐标为．………………14分

略