题目内容

已知定义域为的函数同时满足：

（1）对于任意，总有；

（2）；

（3）若，，，则有；

（Ⅰ）证明在上为增函数；

（Ⅱ）若对于任意，总有，求实数的取值范围；

（Ⅲ）比较与1的大小，并给与证明；

（Ⅲ）令----------①，则

--------------②，

由①-②得，

，即，

=

所以.

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定义：已知函数f（x）与g（x），若存在一条直线y=kx+b，使得对公共定义域内的任意实数均满足g（x）≤f（x）≤kx+b恒成立，其中等号在公共点处成立，则称直线y=kx+b为曲线f（x）与g（x）的“左同旁切线”．已知f（x）=Inx，g（x）=1-

（I）证明：直线y=x-l是f（x）与g（x）的“左同旁切线”；
（Ⅱ）设P（x₁，f（x₁）），Q（x₂，f（x₂））是函数 f（x）图象上任意两点，且0＜x₁＜x₂，若存在实数x₃＞0，使得f′（x₃）=

．请结合（I）中的结论证明x₁＜x₃＜x₂．

若函数f（x）的定义域与值域都为同一区间D，则称函数f（x）为区间D上的“同势”函数．已知函数f（x）=x²-2x+1是区间D上的“同势”函数，则此区间可以是

]或[0，1]或[

]或[0，1]或[

．（只要写出一个你认为正确的区间即可）

定义：已知函数f（x）与g（x），若存在一条直线y=kx+b，使得对公共定义域内的任意实数均满足f（x）≤g（x）≤kx+b恒成立，其中等号在公共点处成立，则称直线y=kx+b为曲线f（x）与g（x）的“左同旁切线”．已知f（x）=lnx，g（x）=1-

．
（1）试探求f（x）与g（x）是否存在“左同旁切线”，若存在，请求出左同旁切线方程；若不存在，请说明理由．
（2）设P（x₁，f（x₁）），Q（x₂，f（x₂））是函数f（x）图象上任意两点，0＜x₁＜x₂，且存在实数x₃＞0，使得f（x₃）=

，证明：x₁＜x₃＜x₂．

定义：已知函数f（x）与g（x），若存在一条直线y=kx +b，使得对公共定义域内的任意实数均满足g（x）≤f（x）≤kx+b恒成立，其中等号在公共点处成立，则称直线y=kx +b为曲线f（x）与g（x）的“左同旁切线”．已知

（I）证明：直线y=x-l是f（x）与g（x）的“左同旁切线”；

（Ⅱ）设P（是函数 f（x）图象上任意两点，且0<x₁<x₂，若存在实数x₃>0，使得．请结合（I）中的结论证明：

定义：已知函数f（x）与g（x），若存在一条直线y=kx+b，使得对公共定义域内的任意实数均满足g（x）≤f（x）≤kx+b恒成立，其中等号在公共点处成立，则称直线y=kx+b为曲线f（x）与g（x）的“左同旁切线”．已知f（x）=Inx，g（x）=1- $数学公式$
（I）证明：直线y=x-l是f（x）与g（x）的“左同旁切线”；
（Ⅱ）设P（x₁，f（x₁）），Q（x₂，f（x₂））是函数 f（x）图象上任意两点，且0＜x₁＜x₂，若存在实数x₃＞0，使得f′（x₃）= $数学公式$ ．请结合（I）中的结论证明x₁＜x₃＜x₂．