Question

【题目】如图，已知， 是椭圆的左右焦点， 为椭圆的上顶点，点在椭圆上，直线与轴的交点为， 为坐标原点，且， ．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作两条互相垂直的直线分别与椭圆交于， 两点（异于点），证明：直线过定点，并求该定点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析， .

【解析】试题分析：

（1）由题意可得为的中位线，从而可得，故，且，然后根据和可得， ，由此可得椭圆的方程．（2）分别设出直线直线的方程，解方程组可得点， 的坐标，经分析题意可得定点必在轴上，不妨设该点坐标，然后根据直线的斜率相等建立关于的等式，结合点， 的坐标经计算可得定点坐标．

试题解析：

（1）由题意得，

∴为的中位线，

∴，

∴，

∴，

又， ，

∴， ，

∴椭圆方程为．

（2）设， ，直线： ，

由 消去y整理得，

解得或（舍去）．

∴，

以代替上式中的，可得．

由题意可得，若直线关于轴对称后得到直线，

则得到的直线与关于轴对称，

所以若直线经过定点，该定点一定是直线与的交点，故该点必在轴上．

设该点坐标，则有，

∴ ，

将的值代入上式，化简得，

∴直线经过定点．