题目内容

已知函数f（x²-3）=log_a $数学公式$ （a＞0，a≠1）．
（1）试判断函数f（x）的奇偶性．
（2）解不等式：f（x）≥log_a（2x）．

解（1）设x²-3=t，则f（t）=log_a $\text{[math]}$ ，
即f（x）=log_a $\text{[math]}$ ，其定义域为（-3，3），且f（-x）=-f（x）．
∴f（x）在（-3，3）上是奇函数．…（4分）
（2）a＞1时， $\text{[math]}$ ≥2x＞0，解得x∈（0，1）∪[ $\text{[math]}$ ，3]．…（8分）
0＜a＜1时，0＜ $\text{[math]}$ ≤2x，解得x∈[1， $\text{[math]}$ ]．…（12分）
分析：（1）设x²-3=t，利用换元法得出f（t）=log_a $\text{[math]}$ ，从而得出函数f（x）的解析式，可求得定义域关于原点对称，利用奇偶函数的定义可判断f（x）奇偶性；
（2）对a分0＜a＜1与a＞1两种情况讨论，再利用相对应的函数的单调性列不等式求解即可．
点评：本题考查指、对数不等式的解法、函数奇偶性的判断，考查分类讨论思想和计算能力，属于中档题．