Question

已知函数f（x²-3）=lg

x2

x2-6

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）若f[φ（x）]=lgx，求φ（3）的值．

Answer 1

分析：（1）整体代换的思路用换元法求解析式，设x²-3=t，然后利用x²=t+3，代入已知函数，求出f（t），即f（x）的表达式
（2）通过（1）的解析式判断奇偶性，判断定义域是否关于原点对称，然后判断f（-x）与f（x）之间的关系，根据函数奇偶性的定义进行证明．
（3）把φ（x）代入f（x）的解析式，求出φ（x）的值，把3代入φ（x）即可解出φ（3）的值．

解答：解：（1）设x²-3=t，则x²=t+3，故t≥-3，
所以原函数转化为f（t）=lg

t+3

t-3

，
由

t+3

t-3

＞0得t＞3或t＜-3，又由t≥-3
则t＞3，
故f（x）的定义域为{x|x＞3}
即f（x）=lg

x+3

x-3

，定义域为{x|x＞3}
（2）由（1）知定义域{x|x＞3}，不关于原点对称，
所以f（x）为非奇非偶函数．
（3）由f[φ（x）]=lgx可得：f[φ（x）]=lg

φ(x)+3

φ(x)-3

=lgx
即：

φ(x)+3

φ(x)-3

=x
解得：φ（x）=

3x+3

x-1

则：φ（3）=6

点评：本题考查复合函数的定义域及单调性的求解，第三问为创新型题目，为中档题