Question

已知函数y=f（x）=sin²x+sinx•cosx+cos2x
（Ⅰ）求y=f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）当x∈[0，

π

2

]时，求函数y=f（x）的取值范围．

Answer 1

分析：（I）用三角函数的二倍角公式与和正弦的和差角公式将函数化简，然后再根据化简后的解析式利用相关公式求周期．
（II）由（I）的解析式，结合三角函数的单调性求函数在x∈[0，

π

2

]上的代值域即可．

解答：解：（Ⅰ）由题意
y=f(x)=sin2x+sinx•cosx+cos2x=

1-cos2x

2

+

1

2

sin2x+cos2x（2分）=

1

2

(cos2x+sin2x)+

1

2

=

2

2

(

2

2

cos2x+

2

2

sin2x)+

1

2

（4分）
∴y=

2

2

sin(2x+

π

4

)+

1

2

（5分）
∴y=f（x）的最小正周期T=π．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得∴y=

2

2

sin(2x+

π

4

)+

1

2

由x∈[0，

π

2

]得2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，（8分）
所以sin(2x+

π

4

)∈[-

2

2

，1]（10分）
从而f(x)=

2

2

sin(2x+

π

4

)+

1

2

∈[0，

1+ 2

2

]（11分）
即函数y=f（x）的取值范围是[0，

1+ 2

2

]（12分）

点评：本题考查三角函数恒等变换化简函数解析式及利用求周期的公式求周期，以及根据三角函数的单调性求三角函数的值域，属于三角函数的基础题，考查的知识点点相当全面，知识性较强．