Question

3．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=log₂x，则f（x）＞0的解集为（1，+∞）∪（-1，0）．

Answer 1

分析 x＜0，则-x＞0，代入解析式后，利用奇函数的关系式求出x＜0时的解析式，再对x分两种情况对不等式进行求解，注意代入对应的解析式，最后要把解集并在一起．

解答 解：设x＜0，则-x＞0，
∵当x∈（0，+∞）时，f（x）=log₂x，∴f（-x）=log₂（-x），
∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x）=-log₂（-x），
①当x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，即log₂x＞0，
解得1＜x，
②当x∈（-∞，0）时，f（x）＞0，即-log₂（-x）＞0，
则log₂（-x）＜0=log₂1，解得0＞x＞-1，
综上，不等式的解集是（1，+∞）∪（-1，0）．
故答案为：（1，+∞）∪（-1，0）．

点评 本题考查了求定区间上的函数解析式，一般的做法是“求谁设谁”，即在那个区间上求解析式，x就设在该区间内，再利用负号转化到已知的区间上，代入解析式进行化简，再利用奇函数的定义f（x），再求出不等式的解集．