Question

8．已知数列{a_n}的前n项和为S_n=2ⁿ-1，数列{b_n}满足b₁=0，b_n+1-b_n=2n（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若C_n=$\frac{{a}_{n}•{b}_{n}}{n}$，求数列{C_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由当n=1时，a₁=S₁，当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1，可得数列{a_n}的通项公式；再由b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1），运用等差数列的求和公式，可得{b_n}的通项公式；
（2）求得C_n=$\frac{{a}_{n}•{b}_{n}}{n}$=（n-1）•2^n-1，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理，即可得到所求和．

解答 解：（1）数列{a_n}的前n项和为S_n=2ⁿ-1，
当n=1时，a₁=S₁=2-1=1，
当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-1-（2^n-1-1）=2^n-1；
即有数列{a_n}的通项公式为a_n=2^n-1；
b₁=0，b_n+1-b_n=2n（n∈N^*），
可得b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）
=0+2+4+6+…+2（n-1）=$\frac{1}{2}$n•2（n-1）=n（n-1），
即有{b_n}的通项公式为b_n=n（n-1）；
（2）C_n=$\frac{{a}_{n}•{b}_{n}}{n}$=（n-1）•2^n-1，
前n项和T_n=0+1•2+2•2²+3•2³+…+（n-1）•2^n-1，
2T_n=0+1•2²+2•2³+3•2⁴+…+（n-1）•2ⁿ，
两式相减可得，-T_n=0+2+2²+2³+…+2^n-1-（n-1）•2ⁿ
=$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（n-1）•2ⁿ，
化简可得，前n项和T_n=2+（n-2）•2ⁿ．

点评 本题考查数列的通项和前n项和的关系，以及数列的恒等式的运用，同时考查等差数列和等比数列的求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，属于中档题．