题目内容
已知抛物线C的顶点为坐标原点，其焦点F（c，0）（c＞0）到直线l：x-y+2=0的距离为
．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若M是抛物线C上异于原点的任意一点，圆M与y轴相切．
（i）试证：存在一定圆N与圆M相外切，并求出圆N的方程；
（ii）若点P是直线l上任意一点，A，B是圆N上两点，且
=λ
，求
•
的取值范围．
3
| ||
| 2 |
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若M是抛物线C上异于原点的任意一点，圆M与y轴相切．
（i）试证：存在一定圆N与圆M相外切，并求出圆N的方程；
（ii）若点P是直线l上任意一点，A，B是圆N上两点，且
| AB |
| BN |
| PA |
| PB |
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（Ⅰ）设抛物线C的方程为y2=4cx，由
=
，能求出抛物线C的方程．
（Ⅱ）（i）设圆M与y轴的切点是点M′，连结MM′交抛物线C的准线于点M''，则|MF|=|MM''|=rM+1，由已知条件推导出圆N即为圆F，由此能求出圆N的方程．
（ii）由
=λ
，知AB为圆N直径，由此能求出
•
的取值范围．
| |c-0+2| | ||
|
3
| ||
| 2 |
（Ⅱ）（i）设圆M与y轴的切点是点M′，连结MM′交抛物线C的准线于点M''，则|MF|=|MM''|=rM+1，由已知条件推导出圆N即为圆F，由此能求出圆N的方程．
（ii）由
| AB |
| BN |
| PA |
| PB |
解答：
（Ⅰ）解：依题意，设抛物线C的方程为y2=4cx，
由
=
，结合c＞0，解得c=1．
所以抛物线C的方程为y2=4x．…（4分）
（Ⅱ）（i）证明：设圆M与y轴的切点是点M′，
连结MM′交抛物线C的准线于点M''，则|MF|=|MM''|=rM+1，
所以圆M与以F为焦点，1为半径的圆相切，圆N即为圆F，
圆N的方程为（x-1）2+y2=1．…（8分）
（ii）解：由
=λ
，知AB为圆N直径，…（9分）
从而
•
=（
+
）•（
+
）
=
2+
•（
+
）+
•
=
2-1≥（
）2-1=
．
所以
•
的取值范围是[
，+∞）．…（13分）
由
| |c-0+2| | ||
|
3
| ||
| 2 |
所以抛物线C的方程为y2=4x．…（4分）
（Ⅱ）（i）证明：设圆M与y轴的切点是点M′，
连结MM′交抛物线C的准线于点M''，则|MF|=|MM''|=rM+1，
所以圆M与以F为焦点，1为半径的圆相切，圆N即为圆F，
圆N的方程为（x-1）2+y2=1．…（8分）
（ii）解：由
| AB |
| BN |
从而
| PA |
| PB |
| PN |
| NA |
| PN |
| NB |
=
| PN |
| PN |
| NA |
| NB |
| NA |
| NB |
=
| PN |
3
| ||
| 2 |
| 7 |
| 2 |
所以
| PA |
| PB |
| 7 |
| 2 |
点评：本题考查抛物线方程的求法，考查两圆外切的证明，考查圆的方程的求法，考查向量数量积的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．
练习册系列答案
每日10分钟口算心算速算天天练系列答案
相关题目