Question

已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F₁，F₂，点A在椭圆C上，·＝0,3||·||＝－5·，||＝2，过点F₂且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于P，Q两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)线段OF₂(O为坐标原点)上是否存在点M(m,0)，使得·＝·？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

(1) ＋＝1  (2)存在，其中m∈.理由见解析

解：(1)由题意知，∠AF₁F₂＝90°，
cos∠F₁AF₂＝，
注意到||＝2，
所以||＝，||＝，
2a＝||＋||＝4，
所以a＝2，c＝1，b²＝a²－c²＝3，
故所求椭圆的方程为＋＝1.
(2)假设存在这样的点M符合题意．
设线段PQ的中点为N，P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，N(x₀，y₀)，直线PQ的斜率为k(k≠0)，
注意到F₂(1,0)，则直线PQ的方程为y＝k(x－1)，
由得(4k²＋3)x²－8k²x＋4k²－12＝0，
所以x₁＋x₂＝，
故x₀＝＝，
又点N在直线PQ上，
所以N.
由·＝·可得·(＋)＝2·＝0，
即PQ⊥MN，
所以k_MN＝＝－，
整理得m＝＝∈，
所以线段OF₂上存在点M(m,0)符合题意，
其中m∈.