Question

如图，已知圆O₁与圆O₂外切于点P，直线AB是两圆的外公切线，分别与两圆相切于A、B两点，AC是圆O₁的直径，过C作圆O₂的切线，切点为D．
（Ⅰ）求证：C，P，B三点共线；
（Ⅱ）求证：CD=CA．

Answer 1

分析：（I）连接PC，PA，PB，由于AC是圆O₁的直径，可得∠APC=90°．作⊙O₁与⊙O₂的内公切线MP交AB与点M．利用切线的性质可得：∠BAP=∠MPA，∠MPB=∠MBP，再利用三角形的内角和定理可得∠MPA+∠MPB=∠APB=90°，进而证明上的共线．
（II）由切线的性质可得∠CAB=90°，利用射影定理可得CA²=CP•CB．再利用切割线定理可得CD²=CP•CB，即可证明．

解答：解：（Ⅰ）连接PC，PA，PB，
∵AC是圆O₁的直径，∴∠APC=90°，
作⊙O₁与⊙O₂的内公切线MP交AB与点M．
又∵AB是两圆的外公切线，A，B为切点，
∴∠BAP=∠MPA，∠MPB=∠MBP，
∵∠BAP+∠APB+∠ABP=180°，
∴∠MPA+∠MPB=∠APB=90°，
∴∠CPB=180°．
∴C，P，B三点共线．
（Ⅱ）∵CD切圆O₂于点D，∴CD²=CP•CB．
在△ABC中，∠CAB=90°，又∵AP⊥BC，∴CA²=CP•CB．
故CD=CA．

点评：本题综合考查了外切两圆的公切线的性质、射影定理和切割线定理，考查了推理能力和夹角问题的能力，属于中档题．