Question

如图：已知线段AB=4，动圆O₁与线段AB相切于点C，且AC-BC=2

2

，过点A，B分别作⊙O₁的切线，两切线相交于点P，且P、O₁均在AB的同侧．
（Ⅰ）建立适当坐标系，当O₁位置变化时，求动点P的轨迹E方程；
（Ⅱ）过点B作直线交曲线E于点M、N，求△AMN面积的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）以AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立坐标系，可得|PA|-|PB|=|AC|-|BC|=2

2

，利用双曲线的定义，可得动点P的轨迹E方程；
（Ⅱ）设直线：x=my+2代入双曲线

x2

2

-

y2

2

=1，利用S_△AMN=

1

2

×|AB|×|y1-y2|求出面积，换元，利用函数的单调性可得结论．

解答：解：（Ⅰ）以AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立坐标系，则|PA|-|PB|=|AC|-|BC|=2

2

，
∴点P在以A、B为焦点双曲线上，且2c=4，2a=2

2

，
∴c=2，a=

2

，
∴b=

c2-a2

=

2

∴P点的轨迹E为：

x2

2

-

y2

2

=1（x＞

2

）；
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直线：x=my+2代入双曲线

x2

2

-

y2

2

=1得（m²-1）y²+4my+2=0，显然m≠±1
∵M、N在双曲线一支上，∴|m|＜1．
S_△AMN=

1

2

×|AB|×|y1-y2|=2

16m2 (m2-1)2 - 8 m2-1

=2

8(m2+1) (m2-1)2

令t=m²+1，有1≤t＜2，则S_△AMN=2

8t (t-2)2

=2

8 t+ 4 t -4

在[1，2）上递增
∴当t=1，即m=0时，△AMN面积取得最小值为4

2

．

点评：本题考查双曲线定义的运用，考查直线与双曲线的位置关系，考查三角形面积的计算，考查函数的单调性，考查学生的计算能力，确定三角形的面积是关键．