Question

已知命题p：方程x²+y²-2mx+2m²-2m=0表示圆；命题q：双曲线

y2

5

-

x2

m

=1的离心率e∈（1，2），若命题“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：若命题p：方程x²+y²-2mx+2m²-2m=0表示圆为真命题，则（x-m）²+y²=2m-m²＞0，解得m范围．若命题q：双曲线

y2

5

-

x2

m

=1的离心率e∈（1，2），为真命题，则

1+ m 5

∈（1，2），解得m．由于命题“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，可得p与q必然一真一假．即可得出．

解答： 解：若命题p：方程x²+y²-2mx+2m²-2m=0表示圆为真命题，则（x-m）²+y²=2m-m²＞0，解得0＜m＜2．
若命题q：双曲线

y2

5

-

x2

m

=1的离心率e∈（1，2），为真命题，则

1+ m 5

∈（1，2），解得0＜m＜15．
∵命题“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，
∴p与q必然一真一假．
∴

m≤0或m≥2 0＜m＜15

，或

0＜m＜2 m≤0或m≥15

，
解得2≤m＜15或∅．
综上可得：实数m的取值范围是[2，15）．

点评：本题考查了双曲线与圆的标准方程及其性质、简易逻辑的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．