Question

13．已知函数f（x）=$\frac{alnx+b}{e^x}$（a，b为常数，无理数e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=$\frac{1}{e}$．
（1）求a，b的值；
（2）证明不等式1-x-xlnx＜$\frac{e^x}{x+1}（1+{e^{-2}}）$．

Answer 1

分析 （1）利用导数值以及切线的斜率，以及函数值求出a、b即可．
（2）令p（x）=1-x-xlnx，x∈（0，+∞），求出导数，判断单调性，求出函数的最值，得到1-x-xlnx≤1+e^-2．设q（x）=e^x-（1+x），判断q（x）单调递增，证明不等式．

解答 解：（1）由$f（x）=\frac{alnx+b}{e^x}$得$f'（x）=\frac{a-bx-axlnx}{{x{e^x}}}\;（x＞0）$．
由已知得$f'（1）=\frac{a-b}{e}=0$，解得a=b．
又$f（1）=\frac{b}{c}=\frac{1}{e}$，即b=1
∴a=b=1，…（4分）
（2）证明：令p（x）=1-x-xlnx，x∈（0，+∞），
∴p′（x）=-lnx-2=-（lnx-lne^-2），x∈（0，+∞）．
易得当x∈（0，e^-2）时，p′（x）＞0，即p（x）单调递增；
当x∈（e^-2，+∞）时，p′（x）＜0，即p（x）单调递减．
所以p（x）的最大值为p（e^-2）=1+e^-2，
故1-x-xlnx≤1+e^-2．  ①…（8分）
设q（x）=e^x-（1+x），则q′（x）=e^x-1＞0（x＞0），
因此，当x∈（0，+∞）时，q（x）单调递增，q（x）＞q（0）=0．
故当x∈（0，+∞）时，q（x）=e^x-（1+x）＞0，即$\frac{e^x}{x+1}＞1$．　　②…（10分）
由①②得$1-x-xlnx≤1+{e^{-2}}＜\frac{e^x}{x+1}（1+{e^{-2}}）$…（12分）

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查计算能力，考查分析问题解决问题的能力．