Question

10．函数y=$\frac{{2}^{x}sin（\frac{5π}{2}+6x）}{{4}^{x}-1}$的图象大致为（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 通过判断函数的奇偶性，单调性及特殊点结合选项来选出答案．

解答 解：f（x）=$\frac{{2}^{x}cos6x}{{4}^{x}-1}$，
f（-x）=$\frac{{2}^{-x}cos（-6x）}{{4}^{-x}-1}$=$\frac{{2}^{x}cos6x}{1-{4}^{x}}$=-f（x），
∴f（x）是奇函数，图象关于原点对称．排除A．
令f（x）=0得cos6x=0，
x=$\frac{kπ}{6}$+$\frac{π}{12}$，k∈Z，
∴f（x）的最小正零点为x=$\frac{π}{12}$．
当x∈（0，$\frac{π}{12}$），2^x＞0，cos6x＞0，4^x-1＞0，
∴当x∈（0，$\frac{π}{12}$）时，f（x）＞0，排除C．
∵f（x）=$\frac{{2}^{x}cos6x}{{4}^{x}-1}$=$\frac{cos6x}{{2}^{x}-\frac{1}{{2}^{x}}}$，
∴当x→+∞时，-1≤cos6x≤1，2^x→+∞，$\frac{1}{{2}^{x}}$→0，
∴当x→+∞时，f（x）→0．排除D．
故选：B．

点评 本题考查了函数图象的判断，属于中档题．