Question

5．已知函数f（x）=x²+ax-lnx，g（x）=e^x．
（1）当a=1时，求f（x）在x=1处的切线方程；
（2）函数h（x）=f′（x）-f（x），证明：当x∈（0，1]时，h′（x）≥2-a；
（3）若函数$F（x）=\frac{f（x）}{g（x）}$在（0，1]上是单调递减函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用导数的几何意义求出切线的斜率，再利用点斜式得出切线方程；
（2）利用基本初等函数的性质得出h′（x）在（0，1]上是减函数，得出结论；
（3）对2-a的符号进行讨论，得出F（x）的最大值，令F_max（x）≤0解出．

解答 解：（1）a=1时，f（x）=x²+x-lnx，f′（x）=2x+1-$\frac{1}{x}$，
∴f（x）在x=1处的切线斜率为k=f′（1）=2，
又f（1）=2，
∴f（x）在x=1处的切线方程为y-2=2（x-1），即2x-y=0．
（2）h（x）=2x+a-$\frac{1}{x}$-x²-ax+lnx，
∴h′（x）=2-a-2x+$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$，
∵y=-2x，y=$\frac{1}{x}$，y=$\frac{1}{{x}^{2}}$在（0，1]上都是减函数，
∴h′（x）在（0，1]上是减函数，
∴h′（x）_min=h′（1）=2-a．
∴当x∈（0，1]时，h′（x）≥2-a．
（3）∵F（x）在（0，1]上是减函数，∴F′（x）=$\frac{f′（x）g（x）-f（x）g′（x）}{{g}^{2}（x）}$=$\frac{h（x）}{g（x）}$≤0在（0，1]上恒成立．
∴h（x）≤0在（0，1]上恒成立，即h_max（x）≤0．
由（2）可知h′（x）在（0，1]上单调递减，且h′（x）≥2-a，
①若a≤2，则h′（x）≥0，∴h（x）在（0，1]上为增函数，∴h_max（x）=h（1）=0，符合题意．
②若a＞2，则h′（1）＜0，又$\underset{lim}{x→0+}$h′（x）=+∞，
∴存在x₀∈（0，1），使得h′（x₀）=0，
∴h（x）在（0，x₀）上递增，在（x₀，1）上递减．
又∵h（1）=0，∴h（x₀）＞0．
又∵h（e^-a）=-e^-2a+（2-a）e^-a+a-e^a+lne^-a＜0，
∴h（x）在（0，1）内有唯一一个零点x'，
当x∈（0，x'）时，h（x）＜0，当x∈（x'，1）时，h（x）＞0．
又F（x）=$\frac{h（x）}{{e}^{x}}$，
∴F（x）在（0，x'）递减，在（x'，1）递增，与F（x）在区间（0，1]上单调递减矛盾．
∴a＞2不合题意．
综上，a的取值范围是（-∞，2]．

点评 本题考查了导数的几何意义，导数与函数单调性的关系，属于中档题．