Question

4．已知抛物线x²=8y与双曲线$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线交于点A，若点A到抛物线的准线的距离为4，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\frac{\sqrt{5}}{5}$

Answer 1

分析 设双曲线$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1的一条渐近线方程为y=$\frac{a}{b}$x，代入抛物线的方程可得A的坐标，求得抛物线的准线方程，由题意可得$\frac{8{a}^{2}}{{b}^{2}}$+2=4，即为b=2a，由a，b，c的关系和离心率公式，可得所求值．

解答 解：设双曲线$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1的一条渐近线方程为y=$\frac{a}{b}$x，
代入抛物线的方程x²=8y，可得x=$\frac{8a}{b}$，
交点A（$\frac{8a}{b}$，$\frac{8{a}^{2}}{{b}^{2}}$），
抛物线x²=8y的准线为y=-2，
由点A到抛物线的准线的距离为4，
可得$\frac{8{a}^{2}}{{b}^{2}}$+2=4，
即为b=2a，c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用交点A到抛物线的准线的距离，考查化简整理的运算能力，属于中档题．