Question

已知定义域为R的奇函数f（x）的导函数为f′（x），当x≠0时，f′（x）+

f(x)

x

＞0，若a=

1

2

f(

1

2

)，b=-2f（-2），c=ln

1

2

f（ln2），则a，b，c的大小关系是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,导数的运算,不等式比较大小

专题：导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：令g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x）．由于当x≠0时，f′（x）+

f(x)

x

＞0，可得：当x＞0时，xf′（x）+f（x）＞0．即当x＞0时，g′（x）＞0，因此当x＞0时，函数g（x）单调递增．即可得出．

解答： 解：令g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x）．
∵当x≠0时，f′（x）+

f(x)

x

＞0，
∴当x＞0时，xf′（x）+f（x）＞0．
即当x＞0时，g′（x）＞0，
因此当x＞0时，函数g（x）单调递增．
∵函数f（x）为奇函数，∴b=-2f（-2）=2f（2），
又c=ln

1

2

f（ln2）=-ln2f（ln2），
∵2＞ln2＞

1

2

，
∴g（2）＞g（ln2）＞g(

1

2

)，
即b＞-c＞a．
g（0）=0，g（

1

2

）=

1

2

f（

1

2

）＞0，
∴b＞a＞c．
故答案为：b＞a＞c．

点评：本题考查了通过构造函数利用导数研究函数的单调性比较大小，考查了推理能力，属于难题．