Question

【题目】某学校有n个班（n为给定正整数），且每班的男生与女生人数至多相差1．现该学校进行乒乓球比赛，规则如下：同一班的选手之间不比赛，不同班的每两名选手都比赛一场．我们称在同性别选手间的比赛为同打，异性别选手间的比赛为异打．若同打场数与异打场数至多相差1，求有奇数名学生的班级至多有多少个？

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

设有奇数名学生的班最多有m个，，k为正整数，r为非负整数且．

当时，；

当时，：

当且时，．

记这n个班为，且班有个男生，个女生，并设，．

则且m为中不为0的个数，这里班有奇数名学生即．

于是，同打场数为，异打场数为．

由题意知 或．

若，则不考虑班，此时对结论无影响（此班学生数为偶数）．

于是由m的性质知最后恰有m个不为0不妨设班学生数为奇数．故只要在及或的条件下，求m所能取到的最大值．

设有x个为1，y个为．则且或，这里．

当时，由m或或为平方数知，故．令，时，，故此时所求m为．

当时，由及令，时，，知此时所求m为n．

同理，时有．

当且时，由m或或为完全平方数知：

若m为平方数，则为最大值：若为平方数，则为最大值；若为平方数，则为最大值．

由m的性质知，，令，其余的为时取到．

综上即得结论．