Question

【题目】设椭圆的方程为，点为坐标原点，点，的坐标分别为，，，直线的斜率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若斜率为的直线交椭圆于，两点，交轴于点，问是否存在实数使得以为直径的圆恒过点？若存在，求的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在；

【解析】

（1）根据题意，设点的坐标为，可得，进而可得椭圆的方程；

（2）根据题意，设直线的方程为，联立方程，通过韦达定理，假设存在实数，使得以为直径的圆恒过点，即可得，利用向量数量积为，解得即可.

（1）设点的坐标为，，

，，又，，椭圆的方程为.

（2）依题意，设直线的方程为，代入，

得.

设，，则，.

假设存在实数，使得以为直径的圆恒过点，则.

又，，

∴，

即，将，代入，整理得，解得，

即当时，存在实数使得以为直径的圆恒过点.