Question

3．在区间[0，2]上任取两个实数a、b，则函数f（x）=x²+ax-$\frac{1}{4}$b²+1在区间（-1，1）没有零点的概率为（　　）

• A． $\frac{π}{8}$
• B． $\frac{4-π}{4}$
• C． $\frac{4-π}{8}$
• D． $\frac{π}{4}$

Answer 1

分析 结合一元二次函数的性质求出函数在区间（-1，1）没有零点的等价条件，利用几何概型的概率公式即可得到结论．

解答 解：在区间[0，2]上任取两个数a，b，
则$\left\{\begin{array}{l}{0≤a≤2}\\{0≤b≤2}\end{array}\right.$，对应的平面区域为边长为2的正方形，面积为2×2=4，
∵0≤a≤2，∴抛物线的对称轴为x=-$\frac{a}{2}$∈[-1，0]?[-1，1），
则当x=-$\frac{a}{2}$时，函数取得最小值，
∵0≤b≤2，∴f（0）=1-$\frac{1}{4}$b²∈[0，1]，即当0≤x＜1上f（x）＞0，
∴要使函数f（x）=x²+ax-$\frac{1}{4}$b²+1在区间（-1，1）没有零点，
则函数的最小值$\frac{4×1×（1-\frac{{b}^{2}}{4}）-{a}^{2}}{4}$=$\frac{4-{b}^{2}-{a}^{2}}{4}$＞0，
即a²+b²＜4，
作出不等式对应的平面区域如图：（阴影部分），
对应的面积S=$\frac{1}{4}×π×{2}^{2}=π$，
则对应的概率P=$\frac{π}{4}$，
故选：D．

点评 本题主要考查几何概型的概率计算，根据函数没有零点的等价条件求出a，b的取值范围是解决本题的关键．利用数形结合和线性规划是解决本题的突破．