Question

设函数，其中a＞0，曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程为y=1．
（Ⅰ）确定b，c的值；
（Ⅱ）设曲线y=f（x）在点（x₁，f（x₁））及（x₂，f（x₂））处的切线都过点（0，2）．证明：当x₁≠x₂时，f′（x₁）≠f′（x₂）；
（Ⅲ）若过点（0，2）可作曲线y=f（x）的三条不同切线，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由得：f（0）=c，f'（x）=x²-ax+b，f'（0）=b．由此能求出b和c．
（Ⅱ），由于点（t，f（t））处的切线方程为y-f（t）=f'（t）（x-t），而点（0，2）在切线上，所以2-f（t）=f'（t）（-t），由此利用反证法能够证明f'（x₁）≠f'（x₂）．
（Ⅲ）过点（0，2）可作y=f（x）的三条切线，等价于方程2-f（t）=f'（t）（0-t）有三个相异的实根，即等价于方程有三个相异的实根．由此能求出a的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）由，
得：f（0）=c，f'（x）=x²-ax+b，f'（0）=b．
又由曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程为y=1，
得f（0）=1，f'（0）=0．
故b=0，c=1．
（Ⅱ），
由于点（t，f（t））处的切线方程为y-f（t）=f'（t）（x-t），
而点（0，2）在切线上，
所以2-f（t）=f'（t）（-t），
化简得．
即t满足的方程为．
下面用反证法证明．
假设f'（x₁）=f'（x₂），
由于曲线y=f（x）在点（x₁，f（x₁））及（x₂，f（x₂））处的切线都过点（0，2），
则下列等式成立：
由（3）得x₁+x₂=a，
由（1）-（2）得
又，
故由（4）得，
此时与x₁≠x₂矛盾，
所以f'（x₁）≠f'（x₂）．
（Ⅲ）故（Ⅱ）知，过点（0，2）可作y=f（x）的三条切线，
等价于方程2-f（t）=f'（t）（0-t）有三个相异的实根，
即等价于方程有三个相异的实根．
设，则．
由于a＞0，故有

t	（-∞，0）
g'（t）	+		-		+
g（t）	↗	极大值1	↘	极小值	↗

由g（t）的单调性知：要使g（t）=0有三个相异的实根，当且仅当，
即．
∴a的取值范围是
点评：本题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想及有限与无限思想．