Question

设函数，其中a＞0，曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程为x轴
（1）若x=1为f（x）的极值点，求f（x）的解析式
（2）若过点（0，2）可作曲线y=f（x）的三条不同切线，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）考查导数的运用，理清题意，列出方程解出a、b、c，从而确定解析式
（2）考查学生构建函数能力，要求学生要有一定的转化能力，利用导数求出函数的极大值和极小值，数形结合解决
解答：解：由得：f（0）=c，f'（x）=x²-ax+b，f'（0）=b．
又由曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程为x轴，得f（0）=0，f'（0）=0．
故b=0，c=0．（2分）
（I）又f'（1）=0，
所以a=1，（4分）
（II）．由于点（t，f（t））处的切线方程为y-f（t）=f'（t）（x-t），而点（0，2）在切线上，
所以2-f（t）=f'（t）（-t），
化简得，即t满足的方程为．（6分）
过点（0，2）可作y=f（x）的三条切线，等价于方程2-f（t）=f'（t）（0-t）
有三个相异的实根，即等价于方程有三个相异的实根.，
故有
由g（t）的单调性知：要使g（t）=0有三个相异的实根，
当且仅当时满足，
即，．
∴a的取值范围是（12分）
点评：本题考查导数的综合运用以及数形结合的运用能力，对学生有一定的能力要求，有一定的难度