Question

（1）解关于x的不等式x+|x-1|≤3；
（2）若关于x的不等式x+|x-1|≤a有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由不等式x+|x-1|≤3，可得

x≤1 1≤3

，或 

x＞1 2x-1≤3

，分别求出这两个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）首先分析题目已知关于x的不等式x+|x-1|≤a有解，求实数a的取值范围．即可先分类讨论x与1的大小关系，去绝对值号．然后根据恒成立分析a的范围，即可得到答案．

解答：解：（1）由不等式x+|x-1|≤3，可得

x≤1 1≤3

，或 

x＞1 2x-1≤3

，解得 x≤2，
故不等式的解集为（-∞，2]．
（2）若关于x的不等式x+|x-1|≤a有解，先分类讨论x与1的大小关系，去绝对值号．
当x≥1时，不等式化为x+x-1≤a，即x≤

1+a

2

．此时不等式有解当且仅当1≤

1+a

2

，即a≥1．
当x＜1时，不等式化为x+1-x≤a，即1≤a．此时不等式有解当且仅当a≥1．
综上所述，若关于x的不等式x+|x-1|≤a有解，则实数a的取值范围是[1，+∞）．

点评：此题主要考查绝对值不等式的问题，对于此类题目需要分类讨论去绝对值号，然后求解，属于中档题．