Question

9．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（1-3a）x+10a（x≤6）}\\{{a}^{x-7}（x＞6）}\end{array}\right.$，若数列{a_n}满足a_n=f（n）（n∈N^*），且{a_n}是递减数列，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{1}{3}$，1）
• B． （$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$）
• C． （$\frac{1}{3}$，$\frac{5}{8}$）
• D． （$\frac{5}{8}$，1）

Answer 1

分析 函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（1-3a）x+10a（x≤6）}\\{{a}^{x-7}（x＞6）}\end{array}\right.$，{a_n}是递减数列，可得$\left\{\begin{array}{l}{1-3a＜0}\\{f（6）＞f（7）}\\{0＜a＜1}\end{array}\right.$，解出即可得出．

解答 解：∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（1-3a）x+10a（x≤6）}\\{{a}^{x-7}（x＞6）}\end{array}\right.$，{a_n}是递减数列，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-3a＜0}\\{f（6）＞f（7）}\\{0＜a＜1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}＜a＜1}\\{6（1-3a）+10a＞{a}^{0}}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{3}＜a＜\frac{5}{8}$．
故选：C．

点评 本题考查了数列递推关系、函数单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．