Question

19．已知P为△ABC内一点，且5$\overrightarrow{AP}$-2$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{0}$，则△PAC的面积与△ABC的面积之比等于$\frac{2}{5}$．

Answer 1

分析 由5$\overrightarrow{AP}$-2$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{0}$，可得$\overrightarrow{AP}$=$\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{AC}$，延长AP交BC于D，则$\frac{5}{3}\overrightarrow{AP}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AD}$，从而可以得到D是BC边的三等分点，且CD=$\frac{2}{3}$CB，即可得出．

解答 解：∵5$\overrightarrow{AP}$-2$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{0}$，∴$\overrightarrow{AP}$=$\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{AC}$，
延长AP交BC于D，则$\frac{5}{3}\overrightarrow{AP}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AD}$，
从而可以得到D是BC边的三等分点，且CD=$\frac{2}{3}$CB，
设点B到边AC的距离为d，则点P到边AC的距离为$\frac{2}{3}$×$\frac{3}{5}$d=$\frac{2}{5}$d，
所以△PAC的面积与△ABC的面积之比为$\frac{2}{5}$．
故答案为：$\frac{2}{5}$．

点评 本题考查了向量线性运算法则、向量共线定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．