Question

如图，F₁，F₂分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，

A是椭圆C的顶点，B是直线AF₂与椭圆C的另一个交点，∠F₁AF₂＝60°.且△AF₁B的面积为40，

则a＝________，b＝________.

Answer 1

10　5

解析　(1)左焦点为F₁(－c,0)，PF₁⊥x轴，

当x＝－c时，＋＝1⇒y＝b²＝⇒y_P＝(负值不合题意，已舍去)，点P，

由斜率公式得k_AB＝－，k_OP＝－.

∵AB∥OP，∴k_AB＝k_OP⇒－＝－⇒b＝c.

∵a²＝b²＋c²＝2c²，

∴＝⇒e＝＝.

(2)法一　a²＝4c²，b²＝3c²，直线AB的方程为y＝－(x－c)，

将其代入椭圆方程3x²＋4y²＝12c²，得B，

所以|AB|＝＝c.

由S△AF₁B＝|AF₁|·|AB|·sin∠F₁AB＝a·c·＝a²＝40，解得a＝10，b＝5.

法二　设|AB|＝t(t>0)．

因为|AF₂|＝a，所以|BF₂|＝t－a.

由椭圆定义|BF₁|＋|BF₂|＝2a可知，|BF₁|＝3a－t，

再由余弦定理(3a－t)²＝a²＋t²－2atcos 60°可得，t＝a.

由S△AF₁B＝a·a·＝a²＝40知，

a＝10，b＝5.