Question

7．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3）和直线l：y=2x-4，设圆C的半径为1，圆心C在l上．
（1）若圆心C也在直线y=x-1上，过点A作圆C的切线，试求圆C的方程和切线的方程；
（2）若圆心上存在点M使|MA|=2|MO|（O为原点），求圆心C的横坐标a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）联立直线l与直线y=x-1解析式，求出方程组的解得到圆心C坐标，根据A坐标设出切线的方程，由圆心到切线的距离等于圆的半径，列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出切线方程即可；
（2）设M（x，y），由|MA|=2|MO|，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M的轨迹为以（0，-1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，由M在圆C上，得到圆C与圆D相交或相切，根据两圆的半径长，得出两圆心间的距离范围，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范围．

解答 解：（1）联立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{y=2x-4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴圆心C（3，2）．
若k不存在，不合题意；
若k存在，设切线为：y=kx+3，可得圆心到切线的距离d=r，即$\frac{|3k+3-2|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
解得：k=0或k=-$\frac{3}{4}$，
则所求切线为y=3或y=-$\frac{3}{4}$x+3；
（2）设点M（x，y），由|MA|=2|MO|，知：$\sqrt{{x}^{2}+（y-3）^{2}}$=2$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，
化简得：x²+（y+1）²=4，
∴点M的轨迹为以（0，-1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，
又∵点M在圆C上，C（a，2a-4），
∴圆C与圆D的关系为相交或相切，
∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=$\sqrt{{a}^{2}+（2a-3）^{2}}$，
∴1≤$\sqrt{{a}^{2}+（2a-3）^{2}}$≤3，
解得：0≤a≤2.4．

点评 此题考查了圆的切线方程，点到直线的距离公式，以及圆与圆的位置关系的判定，涉及的知识有：两直线的交点坐标，直线的点斜式方程，两点间的距离公式，圆的标准方程，是一道综合性较强的试题．