Question

如图，正方体的边长为2，，分别为，的中点，在五棱锥中，为棱的中点，平面与棱，分别交于，.
（1）求证：；
（2）若底面，且，求直线与平面所成角的大小，并求线段的长.

Answer 1

（1）详见解析；（2）2.

试题分析：（1）利用正方形的性质，证明，利用线面平行的判定定理证明平面，再用线面平行的性质定理证明；（2）由条件底面，证明，，
建立空间直角坐标系，利用向量法求解，先求平面的法向量，利用公式，求直线与平面所成的角，再设点，因为点在棱上，所以可设，利用向量的坐标运算，求的值，最后用空间中两点间的距离公式求.
（1）在正方形中，因为是的中点，所以，
因为平面，所以平面，
因为平面，且平面平面，
所以.
（2）因为底面，所以，，
如图建立空间直角坐标系，则，，，
，设平面的法向量为，
则，即，令，则，所以，
设直线与平面所成的角为，则，
因此直线与平面所成的角为，
设点，因为点在棱上，所以可设，
即，所以，
因为向量是平面的法向量，所以，
即，解得，所以点的坐标为，
所以.